Ve druhé části našeho třídílného seriálu o hudební akustice jsme probrali odvození konsonantních a disonantních intervalů. Ve třetí, závěrečné části se zaměříme na odvození tvrdé a měkké hudební stupnice a podstatu temperovaného ladění.
Již v předcházející části bylo řečeno, že hudba může z důvodů konsonance používat jen omezený počet tónů uvnitř oktávy. Souboru těchto tónů říkáme hudební stupnice. Jak vzniká:
Především je třeba k základnímu tónu, tzv. tónice, přibrat vedle oktávy kvintu (tzv. dominantu) a kvartu (tzv. subdominantu) jakožto nejvýznačnější konsonance. Připojíme-li další požadavek, aby terckvintové akordy na tónice, dominantě a subdominantě byly buď vesměs tvrdé, nebo vesměs měkké, již jsou tím určeny obě základní stupnice v hudbě používané, tvrdá (dur) a měkká (moll). Pro tóniku C je tvrdá stupnice dána následujícím schématem, v němž v prvním řádku je hudební název tónů, ve druhém řádku jejich relativní výška vzhledem k tónice a ve třetím intervaly mezi sousedními tóny:
Podobně měkká stupnice C moll je
V obou stupnicích jsou mezi sousedními tóny pouze tři druhy intervalů: 9/8 (velký celý tón), 10/9 (malý celý tón) a 16/15 (velký půltón). První dva intervaly se od sebe jen maličko liší. Jejich rozdíl je tzv. syntonické koma (9/8 : 10/9 = 81/80), což je ještě interval pro obyčejný sluch rozeznatelný. Praktická hudba však tento malý rozdíl zanedbává a shrnuje oba intervaly 9/8 a 10/9 pod společný název „celý tón", lišící se zcela zřetelně od půltónu (16/15 je však větší než půlka celého tónu).
Dále je třeba upozornit na to, že v čistém ladění, o němž jsme dosud uvažovali, je interval D - A, považovaný v hudbě za kvintu, vlastně 5/3 : 9/8 = 40/27 , což je interval o syntonické koma menší než čistá kvinta (3/2 : 40/27 = 81/80). To má význam při tzv. modulaci, čili přechodu z jedné tóniny do druhé. Při kvintovém přechodu (z C dur do G dur) je třeba především velký půltón E - F zvýšit na velký celý tón, což hudba označuje příponou -is; nový interval je pak E - Fis. Mimo to je však třeba tón A zvýšit o koma, aby interval D - A byl čistou kvintou, jak tomu ve stupnici G dur má být. Naopak při kvartovém přechodu (z C dur do F dur) je třeba nejen zmenšit celý tón A - H na velký půltón A - Hes, nýbrž mimo to ještě snížit D o koma. Podobně to platí i pro modulaci stupnic měkkých (ve stupnici C moll je interval Hes - f o koma menší než kvinta).
Čisté ladění, používající naprosto čisté terckvintové akordy, vede tedy ke značné složitosti při přechodu do nových stupnic. Může se ho proto používat jedině tehdy, když hudebník teprve jednotlivé tóny podle sluchu tvoří. Tak je tomu v dobrém pěveckém sboru nebo při hře na smyčcové nástroje. V tom právě spočívá význačná lahoda zpěvního nebo smyčcového kvarteta. V ostatních případech, kdy je hudebník vázán na omezený počet tónů nástroje, nelze všechny jemnosti čistého ladění zachovat.
Rozvoj nástrojové hudby (zejména varhan a klavíru) si vynutil zavedení tzv. rovnoměrné temperatury. Spočívá v tom, že se oktáva rozdělí na 12 stejných intervalů, což dává temperovaný půltón, určený poměrem kmitočtů = 1,05946; dva tyto půltóny tvoří celý tón. Temperované ladění samozřejmě nedosahuje lahodnosti ladění čistého, ale přece jen se k němu snesitelně přibližuje, jak je zřejmé z následující tabulky. V ní jsou uvedeny jednotlivé intervaly v setinách temperovaného půltónu pro tvrdou stupnici za ladění čistého a temperovaného:
V této míře činí syntonické koma (81/80) 22 setin půltónu, což je interval pro obyčejný sluch ještě dobře rozeznatelný. Za hranici rozeznatelnosti je možno považovat asi 6 setin půltónu. Z tabulky je zřejmé, že temperovaná kvarta i kvinta jsou téměř čisté, podobně i sekunda. Tercie, sexta a septima jsou v temperovaném ladění sice zřetelně vyšší, než jak by měly být v ladění čistém, přesto však ne o tolik, aby to v hudbě příliš vadilo.
Pro úplnost ještě dodejme, že kromě komatu syntonického existuje i tzv. koma pythagorejské (73/72). Je nazváno po svém objeviteli Pythagorovi, o jehož pokusech se strunami jsme se již zmiňovali. Pyhagoras k němu dospěl tak, že daný tón zvýšil o 12 kvint, načež ho snížil o 7 oktáv. Ke svému překvapení tímto postupem nezískal unisono, nýbrž právě po něm nazvané koma. Pochopitelně i toto koma v temperovaném ladění mizí.
---
Jiří Pavluch (*1953) působí jako docent na Katedře fyziky povrchů a plazmatu Matematicko-fyzikální fakulty Univerzity Karlovy v Praze. Jeho oborem je fyzika povrchů a jejich studium metodami elektronové spektroskopie. Hudba a hudební akustika je jeho koníčkem. V rámci fakulty organizuje a uvádí koncerty klasické hudby. V loňském roce vyhověl žádosti Ústavu teoretické fyziky MFF UK o seminář na téma „Některé fyzikální a estetické aspekty hudební akustiky", doplněný hudebními ukázkami. V podstatně rozšířené formě z něho vychází i tento článek.
