Analog a Digital. Můžeme si je představit jako dva břehy, mezi nimiž obstarává spojení most. Tím mostem je digitálně-analogový převodník. Samozřejmě, že je třeba jet přes most také zpátky a proto existují i převodníky analogově-digitální. Výklad o principu fungování těchto přístrojů a srovnání formátů hudebních dat připravil Ing. Pavel Macura z firmy PMA – Pavel Macura Audio. Díl první.
1. Základy A/D převodníků
1.1. Shannonův/Nyquistův teorém
1.2. Aliasing a filtry
1.3. Chyby a kvantizační šum
1.4. Redukce amplitudy kvantizačního šumu při převzorkování
1.5. Sigma-delta modulace a noise shaping
2. Základy D/A převodníků
2.1. Anti-aliasing
2.2. Principy převodníků, chyby
2.3. Delta-sigma převodníky D/A
3. Formáty audio dat
3.1. PCM 16/44.1 až 24/192
3.2. DSD
4. FFT analýza hudebních dat na CD, DVD-A a SACD (naměřené grafy)
5. Resolution Project Disc, FFT analýza
I. díl
1. Základy A/D převodníků
1.1. Shannonův/Nyquistův teorém (vzorkovací teorém)
Aby mohl být souvislý spojitý signál přesně rekonstruován ze svých vzorků, musí být správně vzorkován. Souvislý spojitý signál může být správně vzorkován jen tehdy, pokud neobsahuje frekvenční složky nad ½ vzorkovací frekvence.
1.2. Aliasing a filtry
Pokud má vzorkovaný signál vyšší frekvenční složky, než je polovina vzorkovací frekvence Fs, vznikne po rekonstrukci signál s novými frekvenčními složkami pod ½ Fs.
Aby k uvedenému jevu nedošlo, provádí se před vzorkováním vstupního signálu frekvenční oříznutí pod ½ Fs co nejstrmějším filtrem typu dolní propust, který mívá současně co nejmenší útlum v přenášeném pásmu. To sice zabrání aliasingu, ale zasáhne do časového průběhu vstupního signálu způsobem, který může být někdy nepřípustný. Výsledkem jsou např. překmity odezvy na obdélníkový signál, což není akceptovatelné v mnoha aplikacích v měřicí technice. V audiu se má zpravidla za to, že tento typ zásahu není pro sluch významný, i když není jisté, zda existuje přesvědčivý důkaz této domněnky.
Pokud se zajímáme pouze o signály o frekvencích do max. Fa, bude anti-alias filtr propouštět signály s frekvencemi DC – Fa a potlačovat nad Fa, přičemž Fa je menší nebo rovno Fs/2. Strmost potlačení nad Fa je konečná a její důsledky vidíme na obr.3, je to omezení dynamického rozsahu na hodnotu DR. Obrázek B ukazuje na situaci při K x vyšší vzorkovací frekvenci, kdy je možné použít filtr s menší strmostí potlačení při docílení stejného dynamického rozsahu.
1.3. Chyby a kvantizační šum
Ideální A/D převodník
Prozatím byl zmíněn pouze vliv vzorkovací frekvence a aliasingu na dynamický rozsah ideálního systému. Je nutné uvažovat též rozdělení amplitudy signálu do konečného počtu diskrétních kvantizačních hladin. Stále je řeč o ideálním N- bitovém převodníku se vzorkovací frekvencí Fs.
Na obr.5 je znázorněna statická převodní charakteristika ideálního 3-bitového A/D převodníku. Vstup je spojitý, výstup je kvantizovaný do 8 hladin. Tato ideální převodní charakteristika má odchylky o velikosti do ½ LSB od vstupního signálu. Tato odchylka se nazývá “kvantizační chyba” nebo “kvantizační nejistota”. Při vzorkování AC signálu se mluví o “kvantizačním šumu”.
Jakýkoliv AC signál přivedený na vstup ideálního (stále hovoříme o ideálním) převodníku A/D vytvoří kvantizační šum jehož efektivní hodnota (měřená přes celé pásmo DC – Fs/2) je přibližně rovna velikosti LSB dělené √12 (viz obr.6). Poměr efektivní hodnoty sinusového signálu, který amplitudově zabírá celý rozsah převodníku, ku efektivní hodnotě kvantizačního šumu je
SNR = 6.02N + 1.76dB
Toto platí jen při měření šumu přes celé pásmo DC – Fs/2. Pro menší šířku pásma BW efektivní hodnota kvantizačního šumu klesá a odstup roste
SNR = 6.02N + 1.76dB + 10 log(Fs/2BW) Toho lze s výhodou využít při převzorkování.
Ačkoliv ef. hodnota kvantizačního šumu je přesně aproximovaná hodnotou q/√12, jeho spektrum může být silně korelované se vstupním AC signálem. Existuje např. větší korelace pro periodické signály malé amplitudy než pro velké náhodné signály. V klasické teorii kvantizačního šumu A/D převodu se často předpokládá, že kvantizační chybový signál není korelovaný se vstupním signálem A/D převodníku. Kdyby to byla pravda, tak by se kvantizační šum jevil jako náhodné rozložení šumu stejnoměrně přes Nyquistovu šířku pásma DC – Fs/2. Pokud je ale vstupní signál zavěšený na určitý celočíselný podíl vzorkovací frekvence, nebude se kvantizační šum jevit jako stejnoměrně rozložený náhodný šum, ale jako harmonické základního kmitočtu vstupního sinusového signálu. To je speciálně zřetelné pro vstupní signál jehož frekvence je přesným sudým podílem Fs. Situaci ilustruje obr.7. Kvantizační šum korelovaný k signálu je vysoce nežádoucí v některých aplikacích. K redukci tohoto problému se používá přidání malého množství širokopásmového šumu ke vstupnímu signálu. Efektivní hodnota přidaného šumu by měla být kolem ½ LSB. V audiu se této metodě říká dither.
Neideální (reálný) A/D převodník
Neideální (tedy každý skutečný) A/D převodník má vždy řadu dalších statických (DC) i dynamických (AC) chyb. Na obr.8 je ukázán učebnicový příklad statické převodní charakteristiky neideálního 3-bitového převodníku.
Převodní charakteristiku reálného A/D systému je možné měřit pomocí pilového signálu, který roste relativně pomalu ve srovnání s vzorkovací frekvencí, rozlišením a analogovou šířkou pásma A/D systému. Výsledkem je téměř statická převodní charakteristika s určitým vlivem AC analogových vlastností systému. Pro ilustraci je takové měření pro rychlý (Fs je až 10MHz) 12-bitový systém ukázáno na obr.9 (přehledně) a na obr.10 (v extrémním zvětšení).
1.4. Redukce amplitudy kvantizačního šumu při převzorkování
Jak bylo uvedeno v bodu 1.3., odstup užitečného signálu od kvantizačního šumu vzroste, pokud efektivní hodnotu šumu měříme přes užší frekvenční pásmo BW, než je DC - Fs/2. Potom platí:
SNR = 6.02N + 1.76dB + 10 log(Fs/2BW)
Toho se využívá při "převzorkování", kdy vzorkovací frekvence je více než 2x větší než šířka pásma vstupního signálu. Zvýšení SNR (obr.11) se pak nazývá "processing gain". Pro danou šířku pásma znamená zdvojnásobení vzorkovací frekvence zvýšení SNR o 3dB.
1.5. Sigma-delta modulace, převzorkování a noise shaping
Sigma-delta A/D převodníky se používají v aplikacích, kde se vyžaduje nízká cena, malá šířka pásma a vysoké rozlišení. Jejich princip (delta modulace) je odlišný od převodníků, které přímo převádějí vstupní signál na číselný kód
(PCM). Sigma-delta převodníky obsahují velmi jednoduchou analogovou elektroniku (komparátor, spínač, jeden nebo více integrátorů a analogových sčítacích obvodů) a dost složité digitální výpočetní obvody. Tyto obvody zahrnují DSP který pracuje jako digitální filtr. Pro porozumnění funkce sigma- delta převodníku je nutné se orientovat v termínech převzorkování, tvarování kvantizačního šumu (noise shaping), digitální filtrace a decimace.
Pokud zvolíme podstatně vyšší vzorkovací frekvenci K*Fs, potom se kvantizační šum rozprostře do širšího pásma DC - K*Fs/2. Když potom použijeme na výstupu digitální filtr (na Fs/2), odstraníme značnou část kvantizačního šumu, ale neovlivníme užitečný signál, takže zvýšíme SNR a tím ENOB (efektivní počet bitů).
ENOB = (SNR - 1.76dB)/6.02dB
Tím jsme získali A/D převod s vysokým rozlišením při použití A/D převodníku s malým rozlišením. Faktor K se obecně nazývá převzorkovací poměr.
Jelikož šířka pásma se zredukovala výstupním digitálním filtrem, výstupní rychlost dat může být nižší než původní vzorkovací frekvence (K*Fs) a stále se splní Nyquistovo kritérium. To lze docílit výběrem každého M-tého vzorku na výstupu a zahozením ostatních. Tento proces je známý jako "decimace" faktorem M. Decimace nezpůsobuje žádnou ztrátu informace.
Pokud bychom použili pro zvýšení rozlišení pouze převzorkování, museli bychom převzorkovat faktorem 2 na 2-N-tou abychom obdrželi N-bitové zvýšení rozlišení. Sigma-delta převodníky nepotřebují tak velké převzorkování, jelikož nejen omezují šířku pásma signálu, ale též tvarují kvantizační šum tak, že jej vytlačují nad přenášené pásmo, viz obr.11.
Principiální schéma jednoduchého sigma-delta A/D převodníku 1.řádu je na obr.12. (obsahuje analogový modulátor 1. řádu). 1-bitový A/D převodník je řízený výstupem z integrátoru, na jehož vstupu je rozdílové napětí vstupního signálu Vin a výstupu 1-bitového D/A převodníku, který má na vstupu výstupní signál z 1-bitového A/D převodníku. Po přidání digitálního filtru a decimátoru dostaneme sigma-delta A/D převodník. Obvod pracuje následovně: předpokládejme DC vstupní napětí Vin. Integrátor má na výstupu v bodě A lineárně rostoucí nebo klesající průběh napětí, takže synchronizovaný komparátor má na výstupu úrovně log.1 nebo log.0. Negativní zpětná vazba z výstupu komparátoru přes 1-bitový DAC do sumačního bodu bude udržovat střední hodnotu napětí v bodě B rovnou Vin. Střední hodnota výstupního napětí DAC je řízena hustotou “jedniček” v 1-bitovém toku dat na výstupu komparátoru. Když se Vin blíží k +Vref, počet jedniček v toku roste, když se Vin blíží k –Vref, počet jedniček klesá a počet nul roste. Střední hodnota vstupního napětí je tak obsažena v sériovém proudu bitů na výstupu komparátoru.
Proces tvarování šumu lze vysvětlit na modelu převodníku viz obr.13. Integrátor je reprezentovaný DP s přenosovou funkcí H(f)=1/f. 1-bitový kvantizační obvod generuje kvantizační šum Q který se přivádí na vstup sčítacího bloku na výstupu. Vzorec pro výstupní signál Y je uvedený na obrázku.
Všimněme si, že když se frekvence f blíží k nule, výstupní napětí Y se blíží vstupnímu X a nemá žádnou šumovou složku. Na vyšších frekvencích amplituda signálové složky klesá a šumová složka roste. Na vysokých frekvencích je výstupem převážně kvantizační šum. Tedy čím nižší frekvence, tím vyšší je rozlišení, to platí pouze pro sigma-delta převodníky.
Konec 1. dílu (celkem 3 díly)
